Cela dépend du testateur. Dans le cadre d'un testament, vous pouvez désigner un ou plusieurs personnes qui seront chargées de veiller à la bonne exécution de vos dernières volontés. On parle d'exécuteur testamentaire.
Si la fonction d'exécuteur testamentaire est exercée gratuitement (article 1033-1 du Code civil), le testateur est libre de prévoir un legs rémunératoire, communément appelé "diamant" au profit de cet exécuteur. Le legs rémunératoire ne doit pas être excessif au regard des facultés du disposant ou des services rendus.
D'autre part, l'exécuteur testamentaire peut obtenir le remboursement des frais qu'il pourra supporter dans le cadre de sa mission et qui sont à la charge de la succession (article 1034 code civil).